62) 고조파 발진기
마지막으로 고조파 발진기의 경우를 살펴보자. 조화진동자는 $w = \sqrt{\frac{k}{m}}의 각주파수로 평형점을 중심으로 진동하는 입자이며, 이 입자의 전위는 $V = \frac{1}{ 2}kx ^2$, 즉 슈뢰딩거 방정식
$$\frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E – \frac{1}{2}kx^2)\psi = 0$$ . 이 방정식을 푸는 방법이 복잡하기 때문에 이 게시물에서는 결과만 제시합니다.
이 방정식을 푸는 것은 고조파 발진기의 에너지입니다.
$E_n = (n + \frac{1}{2})\hbar\omega (n = 0, 1, 2, …)$로 주어집니다. 즉, 그림 1과 같이 에너지를 양자화하고 각 에너지 준위 사이의 간격을 등간격으로 부여한다.
이때 기저상태 에너지는 $n = 0$ $E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega$ 이며, 이는 절대온도가 $0 K$일지라도 입자의 에너지는 0이라는 것을 의미한다. 액체 또는 고체와 같은 시스템에서는 아니오를 의미합니다. 이는 불확정성 원리로도 설명할 수 있다. 입자의 에너지가 0이라고 가정하면 운동량도 0이고 $\Delta p = 0$가 되는 것은 불확정성 원리를 명백히 위반하는 것이다. 따라서 양자역학에서 입자는 결코 정상 상태를 가질 수 없으며 항상 최소 에너지를 갖는다.
고조파 발진기의 파동 함수는 다음과 같이 주어진다.
$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{\sqrt{\alpha }}{2^nn! \sqrt{\pi}}} H_n(\sqrt{\alpha}x) e^{-\frac{\alpha x^2}{2}} (n = 0, 1, 2, …)$$ 이때 $H_n$은 에르미트 다항식을 의미한다. $n = 0 또는 n = 10$일 때 이 함수의 제곱 그래프를 그리면 다음과 같습니다.
그림 2에서 실선은 고전적인 확률을 나타냅니다. $n$이 작을 때는 고전적 확률과 양자역학적 확률의 차이가 확연하지만 $n$이 커질수록 그 차이는 점차 줄어들어 결국 고전물리학에 따른다. 이것은 대응 원칙에 따라 표현됩니다.